Lecture 3 k-Server

讲义 PDF p1–79（slides 无页脚页码）

$k$-server 把 paging 从”页面要么在缓存、要么不在”推广到一般的距离：$k$ 个服务器分布在度量空间中，请求出现在某个点时必须派一个服务器过去，代价是移动距离。它是在线算法最核心的问题之一，著名的 $k$-server 猜想至今未解决。本讲先在直线上设计出最优的 Double Coverage 算法，用势函数证明它是 $k$-competitive；再到一般度量空间，介绍 Work Function Algorithm（WFA），证明它是 $(2k-1)$-competitive。

部分	要回答的问题	核心结论
1. 问题与背景	问题是什么？为什么猜想答案是 $k$？	推广 paging；确定性下界 $k$
2. 直线上的算法设计	贪心为什么不行？怎样追上 OPT？	Double Coverage：两侧最近的服务器一起移动
3. DC 的势函数分析	怎样证明 DC 是 $k$-competitive？	$\Phi =k\cdot M+S$，摊还代价 $\le k\cdot c(\mathrm{OPT})$
4. 树上的推广	DC 能推广到哪里？	树上同样 $k$-competitive
5. Work Function Algorithm	一般度量空间怎么办？	在”追上 OPT”与”当前代价低”之间平衡
6. WFA 的分析	WFA 有多好？	$(2k-1)$-competitive；是否为 $k$ 仍未解决

1. 问题与背景

来源：多磁头磁盘。请求出现在某个位置时，需要把一个磁头移过去，目标是总移动距离最小。

定义： $k$-server 问题

• 度量空间 $(V,d)$；$k$ 个服务器的初始位置 $R_0=(o_1,\dots ,o_k)$（可以假设它们重合在同一点）。
• 请求序列 $x_1,x_2,\dots ,x_n\in V$ 逐个到达。请求 $x_i$ 到达时，必须有一个服务器位于 $x_i$（必要时移动服务器），然后才能看到下一个请求。
• 目标：最小化所有服务器的总移动距离。

服务器位置的多重集称为配置（configuration）。

历史：由 Manasse, McGeoch, Sleator 于 STOC 1988 提出。$k$-server 猜想：是否存在 $k$-competitive 的确定性算法？

为什么猜想是 $k$：

• $k$-server 推广了 paging：取均匀度量（任意两个不同点距离为 $1$），点就是页面，服务器所在的点就是缓存中的页面，把服务器移到请求点就是缺页时调入页面。所以 paging 的下界都适用：确定性下界 $k$，随机下界 $\Omega (\log k)$。
• 更强的结论（STOC 1988）：在任何至少有 $k+1$ 个点的度量空间上，都不存在竞争比 $c<k$ 的确定性算法。所以 $k$ 是能期望的最好结果。
• 随机版本的猜想是存在 $\Theta (\log k)$ 竞争比的随机算法（后来被推翻，见第 7 节）。

2. 直线上的算法设计

先看最简单的度量空间：实数直线，$d(a,b)=|a-b|$。

2.1 朴素尝试

• 固定范围：每个服务器只负责一个固定区间。
• 贪心：派离请求最近的服务器。

两者都会被同一个简单例子击败。设 $k=2$，服务器在 $-1$ 和 $1$，请求为 $1,2,1,2,\dots$：

• 固定范围：$1,2$ 都在右侧服务器的区间里，它来回奔波，代价约 $n$。
• 贪心：右侧服务器总是离请求最近，同样来回奔波，代价约 $n$。
• OPT：把左侧服务器移到 $1$（代价 $2$），右侧服务器移到 $2$（代价 $1$），之后全部命中，代价是常数。

这与 paging 中 LIFO、LFU 的问题相同：OPT 的代价不再增加，ALG 的代价却一直增加，因为 ALG 的配置始终没有追上 OPT 的配置。

2.2 与 Ski Rental 的联系

把例子放大：两个请求点都在很远的右侧（距离约 $D$）。要不要把第二个服务器调过去？调过去要付 $D$；不调，每次请求都要付一小段距离。这正是 Ski Rental 的”租或买”：在局部代价累计到与远程移动相当时，就应该付出远程移动。

推广到一般情形的困难在于：可能的”远程移动”和”局部移动”都太多，难以一一对应。思路是当局部代价付够时，就向 OPT 的配置靠拢，大致让”长距离移动 = 若干短距离移动之和”。

2.3 从坏例子到 Double Coverage

再看一个例子（$k=2$，两个服务器都在 $0$）：

1. 请求 $5$：ALG、OPT 都把一个服务器移到 $5$，各付 $5$。此时两者配置相同，贪心在局部是好的。
2. 请求 $6$：ALG、OPT 都把位于 $5$ 的服务器移到 $6$，各付 $1$。
3. 请求 $5$：贪心 ALG 把 $6$ 处的服务器移回 $5$，只付 $1$；OPT 却可能把 $0$ 处的服务器移到 $5$，付 $5$。

对手为什么愿意多付？为了拉大 ALG 与 OPT 配置的差距：ALG 这一轮赢了，之后会输。

OPT 面对请求 $x_3=5$ 有两种选择：派左侧服务器 $s_1$，或派右侧服务器 $s_2$。ALG 只派 $s_1$，当前代价太高；只派 $s_2$，与 OPT 的配置差距太大。折中办法是：派 $s_2$ 去服务，同时让 $s_1$ 也向请求移动同样的距离。

定义：Double Coverage（DC，直线）

请求 $x_i$ 到达时：

• 若 $x_i$ 位于两个服务器之间：取 $x_i$ 左侧最近的服务器 $s_l$ 和右侧最近的服务器 $s_r$，两者以相同速度向 $x_i$ 移动，直到其中一个到达 $x_i$。较近的那个服务 $x_i$，另一个移动相同的距离。
• 若 $x_i$ 在所有服务器的同一侧：只移动最近的那个服务器。
• 有多个服务器位于同一位置时，任意打破平局。

DC 的直觉：既然不知道 OPT 会派哪一侧的服务器，就两侧都派一点，从而无论 OPT 怎么选，ALG 的配置都向它靠近了一些。

例：DC 在 $1,2,1,2,\dots$ 上追上 OPT

服务器从 $-1$ 和 $1$ 出发。请求 $2$ 在所有服务器右侧，只移动右侧服务器；请求 $1$ 落在两者之间，两个服务器同时向它移动，左侧服务器因此逐步右移。第 5 个请求后两个服务器都到达 $1$，此后 DC 的配置变为 $\{1,2\}$，全部命中。DC 总代价为 $7$，OPT 为 $3$。

3. DC 的势函数分析

3.1 势函数方法

和 Lecture 2 对 paging 分阶段计数不同，这里每一步的代价没有简单的上界，需要摊还分析：设计一个描述 ALG 状态的势函数 $\Phi \ge 0$，把每一步的实际代价加上势能变化作为摊还代价

$$\hat{c}(\mathrm{ALG})=c(\mathrm{ALG})+\Delta \Phi .$$

若每一步都有 $\hat{c}(\mathrm{ALG})\le k\cdot c(\mathrm{OPT})$，则求和后

$$\sum c(\mathrm{ALG})=\sum \hat{c}(\mathrm{ALG})+{\Phi }_0-{\Phi }_n\le k\cdot \mathrm{OPT}+{\Phi }_0.$$

$\Phi$ 相当于一个”存款”：ALG 某一步付得多时，必须是从存款中支取（$\Phi$ 下降）；OPT 付费时，ALG 可以存入至多 $k$ 倍。

3.2 定义势函数

势函数由两部分组成：

• 配置差距：把 ALG 和 OPT 的服务器都按位置排序，$s_1\le s_2\le \cdots \le s_k$，$o_1\le o_2\le \cdots \le o_k$，令 $M={\sum }_{i=1}^k|s_i-o_i|.$ 在直线上，按顺序配对正是 ALG 与 OPT 配置之间的最小代价匹配。$M$ 衡量 ALG 离 OPT 有多远。
• 稀疏程度：ALG 的服务器之间有多分散， $S={\sum }_{i<j}(s_j-s_i).$ 直觉是：服务器彼此离得越远，每一次犯错的代价就越大。

定义：DC 的势函数

$\Phi =k\cdot M+S.$

3.3 证明 DC 是 $k$-competitive

每个请求分两步看：先让 OPT 服务（$\Phi$ 因 $o$ 改变而变化），再让 DC 服务（$\Phi$ 因 $s$ 改变而变化），分别估计。

引理 1：OPT 每次至多移动一个服务器

不妨设 OPT 是”懒惰”的：只在需要时移动，且只移动一个服务器到请求点。

证明

任何离线方案都可以改成懒惰方案而不增加代价：把服务器的提前移动推迟到它真正去服务请求时再一次走完，由三角不等式，路程不会变长。

OPT 的一步：OPT 移动一个服务器，距离 $c(\mathrm{OPT})$。$S$ 只与 ALG 有关，$\Delta S=0$。$M$ 等于 ALG 与 OPT 配置之间的最小匹配代价；OPT 的一个服务器移动 $c$，原来那个匹配的代价至多增加 $c$，所以最小匹配至多增加 $c$（即使它越过了 OPT 的其他服务器也成立）。所以 $\Delta {\Phi }_1\le k\cdot c(\mathrm{OPT}).$

DC 的一步：此时 OPT 已有一个服务器位于请求点 $x$。

情形 1：只移动一个服务器（$x$ 在所有服务器的右侧，左侧对称）。最右的 $s_k$ 向右移动 $d=c(\mathrm{ALG})$。

• $\Delta S=(k-1)d$：$s_k$ 离其余 $k-1$ 个服务器都远了 $d$。
• $\Delta M=-d$：OPT 有服务器在 $x$，所以 OPT 最右的服务器 $o_k\ge x$；$s_k$ 从左侧向 $x\le o_k$ 移动，$|s_k-o_k|$ 减少 $d$，其余项不变。
• $c(\mathrm{ALG})+\Delta {\Phi }_2\le d-kd+(k-1)d=0$。

情形 2：移动两个服务器（$s_i<x<s_{i+1}$）。两者各向 $x$ 移动 $d$，$c(\mathrm{ALG})=2d$。

• $\Delta S=-2d$：$s_i$ 与 $s_{i+1}$ 之间的距离减少 $2d$；对 $j<i$，$s_i-s_j$ 增加 $d$，$s_{i+1}-s_j$ 减少 $d$，互相抵消；$j>i+1$ 同理。
• $\Delta M\le 0$：见下面的引理 3。
• $c(\mathrm{ALG})+\Delta {\Phi }_2\le 2d+0-2d=0$。

引理 3： $|s_i-o_i|$ 与 $|s_{i+1}-o_{i+1}|$ 中至少一个减少 $d$

因此另一个至多增加 $d$，其余项不变，$\Delta M\le 0$。

证明

OPT 有一个服务器 $o_j=x$。

• 若 $j\le i$：由排序，$o_i\ge o_j=x\ge s_i+d$，$s_i$ 向右移动 $d$ 后仍不超过 $o_i$，$|s_i-o_i|$ 减少 $d$。
• 若 $j\ge i+1$：$o_{i+1}\le o_j=x\le s_{i+1}-d$，$s_{i+1}$ 向左移动 $d$ 后仍不小于 $o_{i+1}$，$|s_{i+1}-o_{i+1}|$ 减少 $d$。

定理：DC 在直线上是 $k$-competitive 的

每一步 $\hat{c}(\mathrm{ALG})=c(\mathrm{ALG})+\Delta {\Phi }_1+\Delta {\Phi }_2\le k\cdot c(\mathrm{OPT})$，因此 $\mathrm{DC}\le k\cdot \mathrm{OPT}+{\Phi }_0.$

ALG 与 OPT 从同一配置出发，$M_0=0$；若初始服务器重合，$S_0=0$，于是 ${\Phi }_0=0$，$\mathrm{DC}\le k\cdot \mathrm{OPT}$。若初始服务器不重合，${\Phi }_0=S_0\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)D$（$D$ 为初始服务器的分布范围）是与请求序列无关的常数，$\mathrm{DC}\le k\cdot \mathrm{OPT}+{\Phi }_0$，仍称 DC 是（渐近）$k$-competitive 的。结合第 1 节的下界，DC 是直线上的最优确定性算法。

思路：势函数的两部分各管什么

摊还代价要处处 $\le k\cdot c(\mathrm{OPT})$，难点是 DC 自己移动的步骤：此时 OPT 不付费，DC 的实际代价必须完全由 $\Phi$ 的下降来支付。

• $kM$ 负责”追赶 OPT”：DC 每次移动都至少让一个服务器朝 OPT 的对应服务器靠近 $d$，$kM$ 下降 $kd$，足以支付 DC 的代价。权重取 $k$，是因为 OPT 移动一步，$M$ 至多涨同样的距离，所以 OPT 付 $c$ 时最多存入 $kc$，这正是竞争比 $k$ 的来源。
• $S$ 负责”两个服务器同时移动”的情形：此时 $M$ 不一定下降（一个靠近、一个可能远离），但两个服务器相向而行，$S$ 下降 $2d$，正好支付 $2d$ 的代价。只移动一个服务器时它向外走，$S$ 上升 $(k-1)d$，由 $kM$ 的下降 $kd$ 覆盖，还剩 $d$ 支付实际代价。

练习：去掉 $S$ 会怎样

若只用 $\Phi =k\cdot M$，DC 的分析在哪一步失败？若只用 $\Phi =S$ 呢？

答：只用 $kM$ 时，情形 2 中 $\Delta M$ 只能保证 $\le 0$（一个服务器靠近 OPT、另一个可能远离同样的距离），$c(\mathrm{ALG})+\Delta \Phi$ 可能等于 $2d>0$，摊还代价无法被 OPT 支付。只用 $S$ 时，情形 1 中 $S$ 增加 $(k-1)d$，$c(\mathrm{ALG})+\Delta \Phi =kd>0$；而且 $S$ 与 OPT 无关，OPT 移动时无法”存入”势能。所以两部分缺一不可。

4. 树上的推广

DC 可以推广到树（边带长度的树形度量）上，同样是 $k$-competitive 的（Chrobak & Larmore 1991）。

定义：Double Coverage（树）

请求 $x$ 到达时，称服务器 $s$ 为活跃的，若 $s$ 与 $x$ 之间的路径上没有其他服务器。所有活跃服务器以相同速度同时向 $x$ 移动，直到某个服务器到达 $x$；移动过程中，若某个服务器与 $x$ 之间出现了另一个服务器，它就变为不活跃，停止移动。

在直线上，活跃服务器恰好是 $x$ 两侧最近的服务器，所以这是直线版本的推广。分析沿用同一个势函数：$M$ 改为 ALG 与 OPT 配置之间的最小代价匹配，$S$ 仍是 ALG 服务器两两距离之和。

再往一般度量空间推广时，DC 就不好用了，需要新的算法。

5. Work Function Algorithm

5.1 Work function

在一般度量空间中，$k$-server 猜想仍未解决，但有一个候选算法：Work Function Algorithm（WFA）。已经证明 WFA 是 $(2k-1)$-competitive 的，它是否 $k$-competitive 仍是公开问题。

WFA 的核心对象是”带固定终点的 OPT”。

定义：Work function

对配置 $X$，令 ${\mathrm{OPT}}_i(X)$ 为从初始配置 $R_0$ 出发、服务请求 $x_1,\dots ,x_i$、并且最后停在配置 $X$ 的最小代价。${\mathrm{OPT}}_i(\cdot )$ 称为第 $i$ 步的 work function。

离线最优就是 $\mathrm{OPT}={\min }_X{\mathrm{OPT}}_n(X)$。

例：同样的历史，不同的终点

$k=2$，服务器从 $0$ 和 $2$ 出发，前 $5$ 个请求为 $3,2,3,2,3$。

• 终点 $\{0,3\}$：左侧服务器一直不动，右侧服务器在 $2,3$ 之间往返，${\mathrm{OPT}}_5(\{0,3\})=5$。
• 终点 $\{2,3\}$：一开始把 $0$ 处的服务器移到 $3$，之后全部命中，${\mathrm{OPT}}_5(\{2,3\})=3$。

5.2 WFA 的定义

定义：WFA

记 $R_{i-1}$ 为 WFA 服务完 $x_{i-1}$ 后的配置。请求 $x_i$ 到达时，选择 $y=\arg {\min }_{y\in R_{i-1}}\{{\mathrm{OPT}}_i(R_{i-1}-y+x_i)+d(y,x_i)\},$ 把位于 $y$ 的服务器移到 $x_i$：$R_i=R_{i-1}-y+x_i$。

两项分别对应两个目标：

• ${\mathrm{OPT}}_i(R_{i-1}-y+x_i)$：移动后的配置有多”像” OPT 的走法，即追上 OPT；
• $d(y,x_i)$：本次移动的代价，即局部代价低。

WFA 在两者之间平衡。只看第二项就是贪心；只看第一项则会为了模仿 OPT 付出过高的当前代价。

例：WFA 在 $3,2,3,2,\dots$ 上的运行

服务器从 $0$（蓝）和 $2$（绿）出发，请求为 $3,2,3,2,3,2,\dots$。每一步比较两种移动的得分 ${\mathrm{OPT}}_i(R)+d(y,x_i)$：

请求	移动	终点 $R$	${\mathrm{OPT}}_i(R)$	本次移动	得分	选择
1: $3$	$2\to 3$	$\{0,3\}$	1	1	2	✓
	$0\to 3$	$\{2,3\}$	3	3	6
2: $2$	$3\to 2$	$\{0,2\}$	2	1	3	✓
	$0\to 2$	$\{2,3\}$	3	2	5
3: $3$	$2\to 3$	$\{0,3\}$	3	1	4	✓
	$0\to 3$	$\{2,3\}$	3	3	6
4: $2$	$3\to 2$	$\{0,2\}$	4	1	5	✓（平局取小移动）
	$0\to 2$	$\{2,3\}$	3	2	5
5: $3$	$2\to 3$	$\{0,3\}$	5	1	6	✓（平局取小移动）
	$0\to 3$	$\{2,3\}$	3	3	6
6: $2$	$3\to 2$	$\{0,2\}$	6	1	7
	$0\to 2$	$\{2,3\}$	3	2	5	✓

前五步 WFA 和贪心一样来回移动绿色服务器，但”停在 $\{0,x\}$“的 OPT 代价越涨越高；第 6 步时，把远处的蓝色服务器调过来反而得分更低。此后配置为 $\{2,3\}$，后续请求全部命中。WFA 总代价为 $7$（不等于最后一步的得分 $5$），OPT 为 $3$。早期的请求让 $\{2,3\}$ 这个配置变得有吸引力，WFA 由此追上了 OPT。

5.3 如何计算 OPT

不指定终点时，OPT 可以用最小费用流高效求出。设有 $t$ 个请求：左侧是”可能的前驱”，包括 $k$ 个初始服务器位置 $a_1,\dots ,a_k$ 和每个请求 $x_i$；右侧是每个请求 $x_j$。从前驱到请求连边：$a\to x_j$ 费用 $d(a,x_j)$；$x_i\to x_j$（$i<j$）费用 $d(x_i,x_j)$，表示服务完 $x_i$ 的服务器接着去服务 $x_j$。源点 $S$ 连向所有前驱、所有请求连向汇点 $T$，费用为 $0$，所有容量为 $1$。值为 $t$ 的最小费用流就给每个请求指定了一个前驱，即 OPT。网络有 $O(t+k)$ 个点、$O((t+k{)}^2)$ 条边。

指定终点时，work function 满足动态规划递推：

$${\mathrm{OPT}}_i(X)=\underset{y\in X}{\min }\{{\mathrm{OPT}}_{i-1}(X-y+x_i)+d(y,x_i)\}.$$

含义：服务 $x_i$ 时有一个服务器在 $x_i$，配置为 $X-y+x_i$；之后把这个服务器从 $x_i$ 移到 $y$，到达终点 $X$。

5.4 Work function 的基本性质

后面的分析反复用到以下性质，其中 $d(X,Y)$ 表示两个配置之间的最小匹配距离。

引理：Work function 的性质

1. Lipschitz：${\mathrm{OPT}}_i(X)\le {\mathrm{OPT}}_i(Y)+d(X,Y)$。
2. 请求点已覆盖：若 $x_i\in X$，则 ${\mathrm{OPT}}_i(X)={\mathrm{OPT}}_{i-1}(X)$。
3. 单调：${\mathrm{OPT}}_i(X)\ge {\mathrm{OPT}}_{i-1}(X)$。
4. 不动点方程：${\mathrm{OPT}}_i(X)={\min }_{y\in X}\{{\mathrm{OPT}}_i(X-y+x_i)+d(y,x_i)\}$。

证明

1. 先按最优方案停在 $Y$，再沿最小匹配把服务器移到 $X$。
2. "$\ge$"：服务 $x_1,\dots ,x_i$ 的方案也服务了 $x_1,\dots ,x_{i-1}$。"$\le$"：停在 $X$ 的服务 $x_1,\dots ,x_{i-1}$ 的方案，结束时已有服务器位于 $x_i$，接着以零代价服务 $x_i$，终点仍是 $X$。
3. 同 2 的"$\ge$"部分：多服务一个请求不会更便宜。
4. "$\le$"由 Lipschitz（从 $X-y+x_i$ 把 $x_i$ 处的服务器移回 $y$）。"$\ge$"：由递推 ${\mathrm{OPT}}_i(X)={\min }_y\{{\mathrm{OPT}}_{i-1}(X-y+x_i)+d(y,x_i)\}$，而 $X-y+x_i$ 含 $x_i$，由性质 2 有 ${\mathrm{OPT}}_{i-1}(X-y+x_i)={\mathrm{OPT}}_i(X-y+x_i)$。

性质 4 对 $X=R_{i-1}$ 的含义特别好：右边的最小化问题恰好就是 WFA 的选择规则。所以 WFA 选出的 $y$ 满足

$${\mathrm{OPT}}_i(R_{i-1})={\mathrm{OPT}}_i(R_i)+d(y,x_i).$$

即 WFA 每一步的”得分”等于 ${\mathrm{OPT}}_i(R_{i-1})$：在旧配置上服务完前 $i$ 个请求的最小代价。

6. WFA 是 $(2k-1)$-competitive 的

6.1 伪离线代价与扩展代价

WFA 的配置序列 $R_0\to R_1\to \cdots \to R_n$ 对应一串 work function 值 ${\mathrm{OPT}}_0(R_0)\to {\mathrm{OPT}}_1(R_1)\to \cdots \to {\mathrm{OPT}}_n(R_n)$，可以看作 WFA 在”追赶”的离线代价。

定义：伪离线代价与扩展代价

• 伪离线代价：$\mathrm{OFF}(i)={\mathrm{OPT}}_i(R_i)-{\mathrm{OPT}}_{i-1}(R_{i-1})$。
• 扩展代价：$\mathrm{EXT}(i)={\max }_X[{\mathrm{OPT}}_i(X)-{\mathrm{OPT}}_{i-1}(X)]$。

伪离线代价望远镜求和：${\sum }_i\mathrm{OFF}(i)={\mathrm{OPT}}_n(R_n)-{\mathrm{OPT}}_0(R_0)={\mathrm{OPT}}_n(R_n)\ge \mathrm{OPT}$。

WFA 第 $i$ 步的实际代价 $\mathrm{ALG}(i)=d(y,x_i)$。由上一节的等式，

$$\mathrm{ALG}(i)+\mathrm{OFF}(i)={\mathrm{OPT}}_i(R_i)+d(y,x_i)-{\mathrm{OPT}}_{i-1}(R_{i-1})={\mathrm{OPT}}_i(R_{i-1})-{\mathrm{OPT}}_{i-1}(R_{i-1})\le \mathrm{EXT}(i).$$

对 $i$ 求和：

$$\mathrm{ALG}+\mathrm{OPT}\le \sum _{i=1}^n[\mathrm{ALG}(i)+\mathrm{OFF}(i)]\le \sum _{i=1}^n\mathrm{EXT}(i).$$

flowchart LR
  A["WFA 规则 = 不动点方程的最小化<br/>ALG(i)+OFF(i) = OPT_i(R_{i-1}) − OPT_{i-1}(R_{i-1})"] --> B["ALG + OPT ≤ Σ EXT(i)"]
  C["Σ OFF(i) = OPT_n(R_n) ≥ OPT"] --> B
  D["只与请求序列有关：<br/>Σ EXT(i) ≤ 2k·OPT + c"] --> E["ALG ≤ (2k−1)·OPT + c"]
  B --> E

所以只要证明 ${\sum }_i\mathrm{EXT}(i)\le 2k\cdot \mathrm{OPT}+c$，就得到 $\mathrm{ALG}\le (2k-1)\mathrm{OPT}+c$。剩下的任务是估计扩展代价，而 $\mathrm{EXT}(i)$ 只与请求序列有关，与 WFA 无关。

6.2 热身：只有 $k+1$ 个点的度量空间

只考虑服务器占据不同点的配置，这样的配置只有 $k+1$ 种（每种配置空出一个点）。令

$${\Phi }_i=\sum _X{\mathrm{OPT}}_i(X).$$

由单调性，每一项 ${\mathrm{OPT}}_i(X)-{\mathrm{OPT}}_{i-1}(X)\ge 0$，所以 ${\Phi }_i-{\Phi }_{i-1}\ge \mathrm{EXT}(i)$。求和得

$$\sum _i\mathrm{EXT}(i)\le {\Phi }_n\le (k+1)\underset{X}{\max }{\mathrm{OPT}}_n(X).$$

设 OPT 最终停在 $X_n$，由 Lipschitz，${\mathrm{OPT}}_n(X)\le {\mathrm{OPT}}_n(X_n)+kD=\mathrm{OPT}+kD$（$D$ 为最大距离）。所以 ${\sum }_i\mathrm{EXT}(i)\le (k+1)\mathrm{OPT}+c$，$\mathrm{ALG}\le k\cdot \mathrm{OPT}+c$：在这种度量空间上 WFA 是（渐近）$k$-competitive 的。

6.3 一般情形：对径点构造

一般情形下配置太多，不能对所有配置求和，需要知道 $\mathrm{EXT}(i)$ 的最大值在哪里取到。为此先把度量空间扩大。

定义：对径扩张

取 $D>2\mathrm{diam}(M)$。对原空间 $M$ 的每个点 $a$ 添加一个新点 $\bar{a}$，令 $d(a,\bar{a})=D,d(\bar{a},\bar{b})=d(a,b),d(a,\bar{b})=D-d(a,b).$ $M\cup \bar{M}$ 仍是度量空间。对配置 $X=(x,\dots ,x)$ 记 ${\bar{X}}_i=({\bar{x}}_i,\dots ,{\bar{x}}_i)$，即 $k$ 个服务器都在 $x_i$ 的对径点。

请求都在 $M$ 中，OPT 不需要离开 $M$，WFA 也只把服务器移到请求点，所以扩张不改变 ALG 和 OPT，只是让 work function 的定义域变大。

关键结论（对径最大化）

$\mathrm{EXT}(i)={\max }_X[{\mathrm{OPT}}_i(X)-{\mathrm{OPT}}_{i-1}(X)]$ 在 $X={\bar{X}}_i=({\bar{x}}_i,\dots ,{\bar{x}}_i)$ 处取到最大值。

讲义只给出直观，完整证明需要 work function 更细的性质（Koutsoupias & Papadimitriou 1995），这里不展开。

直观（$k=1$）：只有一个服务器，设 $x_{i-1}=b$，$x_i=a$。服务完 $x_{i-1}$ 后服务器在 $b$，所以

$${\mathrm{OPT}}_i(x)={\mathrm{OPT}}_{i-1}(b)+d(a,b)+d(a,x),{\mathrm{OPT}}_{i-1}(x)={\mathrm{OPT}}_{i-1}(b)+d(b,x).$$

差为 $d(a,b)+d(a,x)-d(b,x)$。由三角不等式 $d(a,x)-d(b,x)\le d(a,b)$，而 $x=\bar{a}$ 时 $d(a,\bar{a})-d(b,\bar{a})=D-(D-d(a,b))=d(a,b)$ 恰好取等，所以 $x=\bar{a}$ 是最坏的位置：它离当前请求最远，“从 $b$ 绕道 $a$ 再到终点”比”直接从 $b$ 到终点”多出的代价最大。

6.4 估计扩展代价之和

在关键结论下，

$$\sum _{i=1}^n\mathrm{EXT}(i)=\sum _{i=1}^n{\mathrm{OPT}}_i({\bar{X}}_i)-\sum _{j=1}^n{\mathrm{OPT}}_{j-1}({\bar{X}}_j).$$

思路是把正项与负项沿 OPT 的服务器路线配对。固定一个最优离线方案；若请求 $x_i$ 与 $x_j$（$i<j$）由同一个服务器先后连续服务，记 $(i,j)\in P$，把正项 ${\mathrm{OPT}}_i({\bar{X}}_i)$ 与负项 $-{\mathrm{OPT}}_{j-1}({\bar{X}}_j)$ 配成一对。

引理：配对项的上界

对 $(i,j)\in P$（$i\le j-1$）， ${\mathrm{OPT}}_i({\bar{X}}_i)-{\mathrm{OPT}}_{j-1}({\bar{X}}_j)\le kd(x_i,x_j).$

证明

由单调性和 Lipschitz， ${\mathrm{OPT}}_i({\bar{X}}_i)\le {\mathrm{OPT}}_{j-1}({\bar{X}}_i)\le {\mathrm{OPT}}_{j-1}({\bar{X}}_j)+d({\bar{X}}_i,{\bar{X}}_j),$ 而 $d({\bar{X}}_i,{\bar{X}}_j)=kd({\bar{x}}_i,{\bar{x}}_j)=kd(x_i,x_j)$。

定理：WFA 的竞争比

在任何度量空间上，$\mathrm{WFA}\le (2k-1)\mathrm{OPT}+k^{2}D$，即 WFA 是 $(2k-1)$-competitive 的（Koutsoupias & Papadimitriou 1995）。

证明

配对项：$d(x_i,x_j)$ 是 OPT 某个服务器在两次服务之间走过的路程的下界，不同配对对应 OPT 路线上不重叠的路段，所以 ${\sum }_{(i,j)\in P}[{\mathrm{OPT}}_i({\bar{X}}_i)-{\mathrm{OPT}}_{j-1}({\bar{X}}_j)]\le k{\sum }_{(i,j)\in P}d(x_i,x_j)\le k\cdot \mathrm{OPT}.$ 未配对项：每个被使用的服务器还剩下第一个请求 $f\in F$（其负项无配对）和最后一个请求 $\ell \in L$（其正项无配对），$|F|=|L|\le k$。负项 $-{\mathrm{OPT}}_{f-1}({\bar{X}}_f)\le 0$；正项由单调性和 Lipschitz， ${\mathrm{OPT}}_{\ell }({\bar{X}}_{\ell })\le {\mathrm{OPT}}_n({\bar{X}}_{\ell })\le \mathrm{OPT}+kD.$ 每个请求恰好作为一个正项和一个负项出现，都已计入。所以 ${\sum }_{i=1}^n\mathrm{EXT}(i)\le k\cdot \mathrm{OPT}+k(\mathrm{OPT}+kD)=2k\cdot \mathrm{OPT}+k^{2}D.$ 代入 $\mathrm{ALG}+\mathrm{OPT}\le {\sum }_i\mathrm{EXT}(i)$，两边减去 $\mathrm{OPT}$ 即得。

思路：WFA 的证明在做什么

目标：比较 WFA 与 OPT，但 WFA 的行为很复杂，直接追踪它的每一步很难。

第一步：把 WFA 从分析中消掉。WFA 的选择规则恰好是 work function 不动点方程的最小化，于是”WFA 这一步的代价 + 它追赶的离线代价的增量”恰好等于在旧配置上的 work function 增量 ${\mathrm{OPT}}_i(R_{i-1})-{\mathrm{OPT}}_{i-1}(R_{i-1})$。这个量不超过”所有配置中 work function 增量的最大值”$\mathrm{EXT}(i)$，而 $\mathrm{EXT}$ 只取决于请求序列。追赶的离线代价总和至少是 OPT，于是 $\mathrm{ALG}+\mathrm{OPT}\le \sum \mathrm{EXT}$，剩下的问题与 WFA 无关。

第二步：找到最大值的位置。在对径扩张的空间中，增量最大的配置是”所有服务器都在当前请求的对径点”，于是 $\sum \mathrm{EXT}$ 变成具体的正负项之和。

第三步：沿 OPT 的路线配对。同一个 OPT 服务器先后服务的两个请求，对应的正负项之差至多是 $k$ 倍的两点距离；这些距离加起来不超过 OPT。没配上对的只剩每个服务器的首尾，至多 $k$ 对，各贡献至多 $\mathrm{OPT}+kD$。两部分合起来就是 $2k\cdot \mathrm{OPT}$ 加常数，减去左边多出的一个 OPT，得到 $2k-1$。

7. 更多故事

$k$-server 是在线算法最核心的问题之一。

确定性：WFA 是 $(2k-1)$-competitive 的（Koutsoupias & Papadimitriou, JACM 1995）。它是否 $k$-competitive 仍未解决。已知 WFA 是 $k$-competitive 的特殊情形：直线、$n=k+2$ 个点的度量、加权星（Bartal & Koutsoupias, TCS 2004）；树且 $k=3$（Coester & Koutsoupias, ICALP 2021）。

随机：

• 长期以来的猜想是 $\Theta (\log k)$。
• 最好的上界为 $O({\log }^{2}k\log n)$，$n$ 为点数（Bubeck, Cohen, Lee, Lee & Mądry, STOC 2018，multiscale entropic regularization）。
• 猜想已被推翻：存在 $\Omega ({\log }^{2}k)$ 的下界（Bubeck, Coester & Rabani, The Randomized $k$-Server Conjecture Is False!, STOC 2023 best paper）。
• 仍然公开：能否去掉对 $n$ 的依赖，得到 $\mathrm{poly}\log k$ 的竞争比。