website: 计算复杂性理论
成绩：练习50+期末50
1. 复杂性理论研究什么？
根据解决问题所需的计算资源，对问题进行分类和比较。
- 可计算性：是否存在一个算法，对任意合法输入都能停机并给出正确答案？
- 算法设计与分析：如何设计解决问题的算法？某个算法需要多少时间、空间？
- 计算复杂性：解决一个问题需要多少资源？能否用更少资源解决？不同问题的难度如何比较？
1.1 问题与实例
问题是一类输入及其对应的求解要求；实例是其中一个具体输入。
例如，“给定一个图和整数 ，能否找到大小不超过 的顶点覆盖？”是一个问题；给出某一张具体的图和 ，得到一个实例。
复杂性通常考察：输入编码长度为 时，算法所需资源如何随 增长。常见资源是时间和空间。
1.2 四个例子
| 问题 | 判定版本问什么？ | 分类 |
|---|---|---|
| 丢番图问题（Diophantine Problem） | 给定整系数多项式方程，是否存在整数解？ | 一般情形不可判定 |
| 匹配（Matching） | 给定图和 ，是否存在至少含 条边的匹配？ | 属于 P |
| 图同构（Graph Isomorphism） | 两张图能否通过顶点重命名，使邻接关系完全对应？ | 关键分类问题尚未解决 |
| 顶点覆盖（Vertex Cover） | 给定图和 ，是否能选至多 个顶点，使每条边至少有一个端点被选中？ | 判定版本是 NP 完全的 |